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Allgemeine Formel bzw. Gleichung für ein Polynom zur Berechnung von Faktoren

Aus den zwei unterschiedlichen Programmen, die ich hier jüngst vorgestellt habe, und den Überlegungen, auf denen diese beruhen, habe ich jetzt eine Gleichung mit genau einer Unbekannten ableiten können, die umgeformt ein  Polynom bildet, über dessen Nullstellen Werte für die Variable berechnet werden können.

Die Werte für n, die die Gleichung erfüllen, sind dann in der Form 2*n-1 auch ein Faktor der Zahl, die analysiert werden soll  in der handschriftlichen Fassung, die ich hier poste, "Zahl" genannt. 

Ich stelle hier jetzt erst einmal alles zur Ansicht zur Verfügung: Die beiden (bzw. die drei) Programme (Dev c++ für Windows, Version 5.1 und höher), sowie meine handschriftliche Notiz der Gleichung zur Faktorisierung einer beliebig großen ungeraden Zahl.

Gedacht ist natürlich an Zahlen n in IN. Die Einschränkung erfolgt insbesondere durch die Begrenzung von n, das nicht größer als (wrz+1)/2) sein darf. Der Ausdruck "Zahl" steht für eine ungerade Differenz zwischen geraden und ungeraden Quadratzahlen.  Die Formel ist abgeleitet von der Berechnung des unteren Quadrats: Formt man sie so um, dass der Subtrahend auf der linken Seite als Summand auf die rechte Seite kommt, hat man eine Identität zweier Terme für das Quadrat, das bei korrekt gewähltem n - hier identifizierbar durch Elementschaft in IN der angegebenen Terme auf dem Manuskript - der Subtrahend ist in einer Quadratdifferenz, die gleich der zu analysierenden Zahl ist.

 Ab hier KORRIGIERTER NEUER TEXT, Formeln für variable ungerade Werte für x und gerade n !

Außerdem gilt für die Differenzen von Quadratzahlenabschnitten mit jeweils ungerader Basis (Achtung neu ! Frisch korrigiert, Klammer war falsch gesetzt))

((2x-1) + n)^2  - (2x - 1)^2 = 

wobei x hier die Basis der unteren Quadratzahl ist und n der geradzahlige Wert, um den sich x zur oberen Quadratzahl vergrößert hat.

Die ungeraden Basen sind in folgender Form zu verstehen (ungerade ZahlenFolge):

Basis des höheren ungeraden Quadrats: ((2*x-1) + n) 

Oberes Quadrat also: ((2*X-1)+n)^2 

Ungerade Basis des niedrigeren Quadrats

(2*X-1)

 Unteres Quadrat: (2*X-1)^2

Zum Beweis multipliziert man das einfach aus und subtrahiert.

Die Formel sieht dann so aus:

(2*X-1+n)^2  - (2*X-1)^2 = 4xn - 2n + n^2

Durch Erweitern kann man das Ergebnis des Teilens durch 8 zeigen: = 8* (1/2 xn - 1/4 n + 1/8 n^2)

 

Warum tut das 1/2 der Teilbarkeit durch 8 keinen Abbruch ?

Weil (1/8 n^2 - 1/4 n) sich für gerade n  immer zu einer ganzen Zahl aufhebt ! Betrachten lässt sich das mit einigen Beispielen für gerade n, beweisen durch Induktion (folgt).

 

Für ungerade Zahlen fällt also die Option einer Differenz von ungeraden Quadratzahlen per se aus. 

Für gerade Zahlen gilt (auch so geändert, dass n nicht verdoppelt wird, aus Versehen mit in der Klammer ;) und n gerade ! ): 

(2*X+n)^2  - (2*X)^2 = 4xn + n^2 = (1/2 xn + 1/8 n^2 ) *8 In diesem Fall führt 1/8*n^2 bei entsprechenden geraden n zu einem Restwert 4 modulo 8. Die Differenzen zwischen geraden Quadratzahlen sind also je nach x und n durch vier oder durch acht teilbar.

 

 

(Kryptotext wird in anderem Beitrag berücksichtigt)

 

Die Programme und die Gleichung sind hier nur vorläufig und zur Ansicht eingestellt, um die Diskussion anzuregen, Veröffentlichungen von "Ergebnisses" mit Hilfe dieser Programme egal in welchem Medium, Weiterverarbeitung, Abwandlung der Programme oder der mathematischen Formel etc. ist im Moment noch nicht gestattet. Sollte etwas entsprechendes geplant sein, bitte ich um Mitteilung, dann ab einem bestimmten Zeitpunkt zur eventuellen Genehmigung, die VORAB schriftlich eingeholt werden muss. 

Dr. Ulrike Ritter

Jetzt die Jpgs und Exen:

Manuskript Faktorisierungsformel

Faktorisierung_mod1-2n+1+-.exe

Faktorisierung Quadratreihe1: größte Quadzahl und Rest

Quadratreihe2nf1 Quadratdiffs und Faktoren

 

WARNHINWEIS: Es handelt sich um ausführbare Dateien, also bitte vorsichtig damit umgehen. Wir haften nicht für Schäden, die durch Malware zustandekommt, die durch Manipulationen dieser Links auf Computer gerät. Die Exen liegen so wie hochgeladen und verlinkt am 4.1.18 auf unserem sicheren und virenkontrollierten Server.  

 

p.s: Huhu, hier spricht Verlagskaninchen Miri. Ich hab euch auch noch etwas zu sagen zu diesem krassen Beitrag hier von unserer Hasenomi: Also ihr müsst bitte ihren komischen Ton entschuldigen und verstehen, dass sie so rumstänkert, weil sie es so gelernt hat und naja, es sind schon viele Möhren und Kohlrabiblätter über die Teller gewandert, seit unsere arme Omi mit dem Thema begonnen hat und jetzt verschenkt sie euch das auch noch - also unsere Managerin Flumi Flora Fluminis schüttelt sich so richtig, äöhm, also ich die Miri die ich ja auch meine Hasenpoesie kostenfrei verschütte, damit ihr in euren Weblight-Eckchen auch genug Ektschinns findet, fände es also sehr lieb von euch, wenn ihr jetzt brav damit rumspielt aber das nicht einfach so klaut (ggfls. ohne es zu merken) sondern dann lieber auf meine Seite rüberschnuppert, wo ihr euch ruhig was abschreiben oder meine Fotos kopieren könnt, sogar die Rap-Songs von mir und BenjiBenjay dürft ihr euch kopieren ! Und naja, also Menschen knabbern gerne an Zahlenrätseln, aber wenn ihr mich fragt, mir haben Kohlrabiblätter oder sogar Laub ! immer besser geschmeckt als holzfreies Papier mit Kugelschreiberschmiere.....Omi macht dann bald ein schickes Buch mit ihren ganzen Zahlenrätsel-Sachen und das dürft ihr dann nach Leibeskräften kopieren, zitieren und abschreiben, vorlesen, und so weiter und am Rand oder sogar an der Falz benagen. Also schaut schnell hier rüber zur Entspannung:

 Geliebte Tiere * Miris Kaninchen-Blog

Verlag 04.01.2018 0 288
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