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Allgemeines zur Faktorisierung durch Quadratreihen

Auf der Suche nach einer allgemeinen Regel fassen wir hier nochmal zusammen, wie Quadratreihen helfen können, ungerade Zahlen zu faktorisieren:

1 Jede ungerade Zahl ist durch einen Abschnitt der Quadratzahlenreihe n^2 = SUM 2n -1 darstellbar.

Der Beweis ist trivial, denn 2n - 1 entspricht der Folge ungerader zahlen. Nötigenfalls, z.B. bei Primzahlen, entspricht der zahl also genau ein Summand der Quadratzahlenreihe.

Bei faktorisierbaren Zahlen x (in IN) gibt es einen kontinuierlichen Abschnitt SUM (über a = z bis 0) 2n -1, sodass

((2na -1) - (2n0 - 1) = x.

und x = a* (2na/2 -1)

Kurz und klar: Ein Faktor ist die ANZAHL der addierten Quadratzahlenabstände in der regulären Reihe. Der andere Faktor ist der Mittelwert dieser Abstände.

Also am Beispiel 87 mit den Faktoren 3 und 29::

87 = 16^2 - 13^2 = (16-13) * (16+13) = 3 * 29

16^2 - 15^2 = 31

15^2 -14^2 = 29

14^2 -13^2 = 27

Mittelwert ist 29, Anzahl der Quadratzahldifferenzen ist 3.

 

Beim "Probieren" kann man bei einer entsprechenden Quadratzahlendifferenz anfangen, für die dann gelten muss, dass a*(2na/2 -1)<= x ist.

Beispiel:

Gesucht ist eine gute Schätzung der Faktoren von 221 (13 x 17).

Darunterliegende Wurzel ist 14^2 = 196, darüberliegende Wurzel 15^2 = 225

Differenz von 15^2 und 14^2 ist 29, d.h. ungefähr ein Siebtel. sodass oberstes Qudrat 18^2 wäre und kleinstes 11^2, also 29 * 7. Die Differenz von 18 lässt sich nicht unterbringen, denn sie liegt zwischen 8^2 und 9^2. Mit diesen 17 ist dann auch schon der richtige Faktor gefunden.

Differenz zwischen 7* 29 und 221 ist 18, das als Quadratdifferenz zwischen 8^2 und 9^2 liegt. Der Mittelwert ist also zu hoch und 7 kein passender Faktor. 18 minus 1 liefert dann schon den richtigen Faktor und die mittlere Quadrtdifferenz zwischen 8^2 und 9^2: 81 - 64 = 17

Schrittweises (symmetrisches) Vorgehen in der Quadratzahlenreihe, falls erforderlich, führt dann zu 2^2 (8-6) und 15^2 (9+6), die richtigen Basen für die Faktorisierung 15^2 -^2 =  (15-2)*(15+2) = 13*17

Alternativ zur symetrischen Lösung lässt sich die gesuchte Quadratzahlenreihe (a 'nummeriert' als Index über einen kontnuierlichen Abschnitt) über die Anfangsbasis y berechnen, wobei die Gleichung noch eine Variable zuviel hat ;) Dabei wird zur kleinsten Basis in der entsprechenden Häufigkeit a  die Aufsummation von "2" bei jedem Voranschreiten über die Differenzen der Anzahl a in der Quadratzahlenreihe hinzugerechnet.

ya^2 - y0^2 = a*(2y0+1) + 2*(a-1)^2+a-1)/2 = a*(2y+1) + (a-1)^2 +a-1, also (2y+2)*a +(a-1)^2 -1 = zu faktorisierende zahl x , "a-1), weil mit   (a-1)^2 +a-1 die Summation von 2 über den Abschnitt der Reihe beschrieben wird. 

Beispiel 273 = 3*7 * 13 (21 * 13)

höchste Wurzel in 273 ist 16^2

Quadratdifferenz zu 15^2 ist 31

31 passt 8-9 mal in 273, Differenz ist zudem 17, Quadratdifferenz bei 8^2

Ausgangspunkt also 8^2 und 16^2

bzw. 16^2 -8^2 = 192

192 ist auch 8*17 + 7^2 + 7, wobei 17 die Quadratdifferenz von 8^2 und 9^2 ist, diese 8 mal im Abschnitt vorkommt, und die 2 genau (7^2 +7)/2-mal addiert wird über die acht Abschnitte.

Zumindest beschreibt die Gleichung eine Beziehung zwischen dem quadratischen Term y und dem Faktor (a)

Damit können das kleinste Quadrat und die kleinste Anzahl von Quadratabständen rechnerisch entwickelt werden.

bei Verwendung kann man mit dem größtmöglichen kleinen Subtrahenten anfangen, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Quadratbasis kein Teiler der zu faktorisierenden zahl ist !

 am beispiel 273 = 21 * 13 (Quadrate sind 17^2 - 4^2) zeigt sich mit 192

 

8^2 ist  als kleinste wurzel zu groß und/ oder 8 Quadrtadifferenzen zu wenig

 

 16^2 – 8^2 = 17 + 19 + 21 + 23 +25 +27 + 29 + 31 = 192

 

 

273 – 192= 81

 

 

symmetrisch würde jetzt 33 + 15 hinzugefügt, rechts zwei mehr, links zwei weniger,

 

zu prüfen also, wie häufig 48 in 81 passt, dadurch deutlich, dass die entwicklung nicht symmetrisch ist. Also zb. besser 192 + 33 + 15 + 13 (da 35 nicht mehr passt) + 11 + 9 = 273

 

Die äußeren Quadrate sind also (9-1 )/2 (da der Abstandswert gleich 2n + 1 für ds entsprechende n^2 ist) :

 

4^2 und mit 33 = 33+1/2 = 17^2

 

Als Faktoren folgen (17-4)(17+4)= 13 * 21

 

ZifferZahlZitat 20.08.2017 0 703
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20.08.2017 (577 days ago)
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