Z = 1423979479923 = 3 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 71

Z liegt unter wurzel basis  1193307

zum quadrat : 1423981596249

AD („Anfangsdifferenz“)= 2116326

596653 = y ( oder 596652) (y*2) ist Wurzelbasis direkt über Z

Faktorisierungsformel (Eigenentwicklung):

4*x^2 + 4* 2*y*x – (4y – AD + 1) = a^2

Ergebnisse:

1208207 * 1178589  

1210053 * 1176791

1212751 *  1174173

VORGEHENSWEISE (zwei von mehreren möglichen Rechenwegen /Programmen)

Y und AD eingesetzt:

4*X^2 + 4773224*X – 270287 = a^2 (gesuchte x werte, sodass a^2)

1.       Prüfe triviale P. tripel:

270287 = 135144^2 - 135141^2 (triviales pythagoreisches Tripel)  funktioniert ?

Triviales Tripel funktioniert, wenn :

4*X^2 + 4773224*X = 135144^2

Und

4*X^2 + 4773224*X – 270287 = 135143^2

Kann nicht geplottet werden wegen Quadratzahlen, aber Mitternachtsformel

A= 4

B = 4773224

 C= -135144^2

D= 4773224^2 + 4* 4* 135144^2 = 22783667354176 + 18263900736 = 22801931254912 aber wurzel ist nicht in IN, geteilt durch 8 = 596892, 097..

Und X1,2 = +- y = 239,09 führt zu keinem genauen Ergebnis, vielleicht minimal verschoben.

Egal. Lösungsweg Nr. 2 :

4*X^2 + 4773224*X – 270287 =

Und der gesamte Term ist quadratisch.

Geplottet wird die Wurzelfunktion.

Wie bereits in der Analyse anderer Zahlen deutlich geworden, liegen die korrekten Werte nur bei besonderen Zahlen weit vom ursprünglichen y entfernt. Da x die Differenz zwischen dem y, das sich zum Faktorisieren eignet, und dem anfänglich bestimmten y benennt, reichen voraussichtlich kleine x Werte.

Geplottet wird mit Mathematik alpha:

Ergebnis: Die charakteristische Faktorisierungsfunktion für die Zahl als Wurzelfunktion gibt schon bei kleinen x Werten ganzzahlige Werte aus:

Also insbesondere:

X=46, 58, 78

Mit a = 14809 f(46)

A = 16631 f(58)

A = 19289  f(78)

Also verwendbare y = 596653 + 46

596653 + 58

596653 + 78

Damit Faktorisierungs-QuadratBasis 1193398^2 = 1424198786404         und – Z = 14809^2

1193422 ^2 = 1424256070084            und  – Z = 276590161 = 16631^2

1193462 ^2 = 1424351545444      und – Z = 19289^2

Damit ergeben sich als Faktoren:

(1193398+ 14809)*( 1193398 – 14809) = 1208207 * 1178589 = (1208207 = 7 * 11 * 13 * 17 * 71) * (1178589 = 3 * 19 * 23 * 29 * 31)

(1193422+16631)*( 1193422-16631) = 1210053 * 1176791 = (1210053 = 3 * 13 * 19 * 23 * 71 )*(1176791 = 7 * 11 * 17 * 29 * 31)

(1193462+19289)*( 1193462-19289) = 1212751 *  1174173 = (1212751 = 19 * 29 * 31 * 71)* (1174173 = 3 * 7 * 11 * 13 * 17 * 23)

Wie man sieht, können dann die gefundenen Faktoren ihrerseits über die Bestimmung von y und AD und die Faktorisierungsfunktion analysiert werden bis zu Primfaktoren

Analysierte Zahl 1423979479923

Verwendete Formel und Werte:

4*x^2 + 4* 2*y*x – (4y – AD + 1) = a^2 (eigene Entwicklung)

(4*X^2 + 4773224*X - 270287)^(0,5)

Y = 596653 (Hälfte der Basis der direkt über Z liegenden Quadratzahl)

AD= Anfangsdifferenz zur darüberliegenden Quadratzahl: 2116326