Beitrag Ansicht

Faktoren berechnen mit Quadratdifferenzen

Erste Schritte zu einem echten Berechnen (nicht Probieren oder Suchen)

von Faktoren….

Die hilfreiche Formel:

4*x^2 + 4* 2*y*x – (4y – AD + 1) = a^2

Y ist eine Basiszahl der untersuchten Zahl (Z), sodass 4*(y^2+y)+1 plus/minus irgendetwas (hier MINUS 30) diese Zahl ergibt.   Wie genau y funktioniert, kann man in meinen C++ Programmen nachschauen. AD = die Anfangsdifferenz, hier immer 30, AD ist gleich der Differenz zwischen der untersuchten Zahl und der nächsthöheren Quadratzahl.

X ist der Wert, der zu y addiert werden muss, damit man ein neues y erhält. Dieses neue y ist die Basis für eine Quadratzahl, die gemäß der dritten binomischen Formel zum faktorisieren der untersuchten Zahl (Z) führt.

In den Beispielen werden Zahlen untersucht, die um 30 kleiner sind als die nächste Quadratzahl über ihnen. Es stellt sich heraus, dass die Quadratbeziehung, trotz zwei Variablen (x und a) in glücklichen Fällen über ein triviales pythagoreisches Tripel berechnet werden kann. In den anderen Fällen bleibt es bei Probierschritten, aber in einem sehr kleinen Bereich und mit der Aussicht auf genauere Bestimmung/Berechnung (folgt).

51

Ziel: […] soll quadratisch sein – gelegentlich erreichbares Traumziel, denn dann kann man mit dem Summanden (oder dem Diminuenden) der zwischen […] und a^2 liegt,  besonders einfach passende Quadrate bestimmen.

[4x^2 + 8*4*x] + 13 = a^2

13 = 7^2 – 6^2 (triviales pythagoreisches Tripel)

Also =

(4x^2 + 8*4*x)  = 36 = 6^2 (so gesetzt, um die Quadratbezeihung zu erhalten)

ó x=1

a^2 = 49

Also passt x = 1

Y= 4, y+x = 5

Es ist  10^2 – 51 = 7^2

Also 10^2-7^2 = 51

Bzw (10+7)*(10-7) =

17*3 = 51

 

 259

Y = 8

32-30+1 = 3

4*x^2 + 8*8*x – 3 = a^2

TRIVIALE LÖSUNG GEHT HIER NICHT, DENN : 3 ist zu klein

Also 4x^2 + {8*8*x-3} = a^2

{…} ist Zwischenzahl, nicht quadratisch.

Beliebiges x kann man testen, klein anfangen, da erfahrungsgemäß häufig niedriger Wert,

dann ausrechnen oder triviale Lösung mit dem Zwischenterm versuchen.

Test 1,2,3

4 + 61 = 65 no

16 + 125 = 141 no

36 + 189 = 225 yes

Also passt für x = 3

Y+x = 11

259 = 22^2- 15^2 = (22+15)*(22-15) = 37* 7

 

1491

Y19

4*x^2 + 4*2*19*x – (4*19 – 30 +1) = a^2

4x^2 + 8*19*x – 47 = a^2

47 =

24^2 – 47 = 23^2

4x^2 + 152x = 24^2 und a^2 = 23^2 ?

4x^2 + 152x – 47 =  529 möglich in IN ?  

152^2 + 16*576

MF Führt zu rationalen Werten 9216 + 23104 = 32320 = 179,77 / 8 = 22,47

Ergibt gerundet – 19 + 23 = 4 nach Mitternachtsformel.

Optimiert:

Aufrunden und für 25^2 prüfen mit 47 im Term

Denn Mit x= 4 => 672 -576 = 96, minus 47 = 625 = 25^2

Also mit x = 4

neues y = 19+4 = 23

46^2 oberes quad

 

Die triviale Lösung hat etwas sehr vielversprechendes :D

Ansonsten ist auch der allgemeinste Fall , dass NUR der gesamte linke Teil der Gleichung ein Quadrat wird, einfacher zu lösen als das Durchprobieren von allen n < Z möglichen Faktoren.  Z ist hier nur durch den Anfangswert y und die Differenz zur nächsthöheren Quadratzahl im Spiel (dadurch eindeutig definiert).

Für diesen gilt die einfache Regel, dass in 4*x^2 + 4* 2*y*x – (4y – AD + 1) = a^2 der Teilterm 4* 2*y*x – (4y – AD + 1) = (b^2-4)*x^2 sein muss, da sich dann durch die Addition wieder ein quadratischer Term ergibt : 

4*x^2 + (b^2-4)*x^2 = (4 + b^2 - 4)*x^2 = b^2*x^2 

Idealerweise ergeben sich noch weitere Regeln / zeigen sich Regelmäßigkeiten.

Artemis Wissen 25.01.2019 0 264
Kommentare
Ordnen nach: 
Pro Seite:
 
  • _There are no comments yet
Postinfo
Rate
1 Abstimmungen
Aktionen
Empfehlen
Kategorien
Books (14 beiträge)
Entertainment Blogs (28 beiträge)
Tech News (1 beiträge)