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Faktorisieren mit Quadratzahlen * Formel * Lösung

Faktorisieren mit Quadratdifferenzen und Quadratreihenabschnitten

 

Vorüberlegungen

 

Für alle nicht primen, ungeraden Zahlen gibt es eine Quadratdifferenz, sodass

 

Zahl = a^2 – b^2

 

Die Differenz gibt mit der dritten binomischen Formel auch jeweils zwei prime oder nicht-prime Faktoren der Zahl an:

 

a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b)

 

Von bereits bekannten Faktoren auf genau eine passende Quadratdifferenz zu schließen, ist sehr einfach - dazu bei anderer Gelegenheit.

 

Hier suchen wir möglichst viele Quadratdifferenze auf eine Weise, die nicht voraussetzt, dass die Faktoren bereits bekannt sind. Die Faktoren sollen aus den Quadratdifferenzen errechnet werden.

 

Berechnungsstrategie

 

Ausgangspunkt ist die höchste Quadratzahl a^2, die kleiner als die zu analysierende Zahl Z ist, und der Rest nach Subtraktion dieser Quadratzahl:

 

a^2 < Z

 

Die Quadratdifferenz entsteht, indem diese Struktur a^2 + Rest mit einem neuen Quadrat ergänzt wird, sodass der „Rest“-Term plus ergänztes Quadrat einen oder mehrere Summanden zu a^2 ergibt, die als Folgesummanden (2n-1) von a^2 in der Quadratzahlenreihe [c^2 = SUM 2n-1 (für n=1 bis c)] das erste Quadrat (a^2) um x Schritte erhöhen, wobei der Subtrahend ein beliebiges ganzzahliges Quadrat ist, also Quadratdifferenz. Der Subtrahend entsteht als Wert der ergänzten Folgesummanden abzüglich des schon vorhandenen Rests.

 

Mitunter ist die zu ergänzende und entsprechend zu subtrahierende Zahl gleich quadratisch, d.h. ein Folgesummand reicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

 

Beispiel: 118287

 

= 117 * 1011 (Quadratdifferenz beispielsweise: 564^2 – 447^2 nach Halbierungsschema)

 

Approximation / höchste Quadratzahl und Rest:

 

343^2 + 638 = 118287

 

für n= 343 ist oberster Quadratreihensummand 2*343-1= 685

 

also ist

 

343^2 + 687 = 344^2

 

Der vorhandene Rest 638 wird so ergänzt, dass 687 entsteht. Der addierte Summand wird wieder abgezogen, wie bei einer quadratischen Ergänzung

 

343^2 + 638 + 49 – 49

 

(343^2 + 638 + 49) – 49

 

ergibt 344^2 - 7^2

 

Probem: Nicht immer ist das fehlende Stück gleich für den ersten Folgesummanden quadratisch !

 

Strategien Eine variable Formel für x-Folgesummanden. Richige Lösung sind ganzzahlig radizierbar:

 

BEISPIEL:

 

1775713 = 883*2011 (Quadratdifferenz mit Halbierung: 1497^2 – 614^2)

 

Höchstes Quadrat und Rest:

 

1775713 = 1332^2 + 1489

 

Strategie:

 

Höhere Quadrate entwickeln, sodass der Abschnitt abzüglich des vorhandenen Rests quadratisch ist:

 

 

Formel für das nächsthöhere Quadrat:

 

(F1) X*(2*ApproxBasis+1)+X^2-X+(Approx-HöchstesQuadrat)

 

Am Beispiel:

 

X*2665+X^2-X+1332^2 = (1332+X)^2

 

berechnet das nächsthöhere Quadrat (1332+x) in Summanden ab des approximierten höchsten Quadrat 1332

 

Gesucht ist nun das neue Quadrat, das abgezogen werden muss, um die Addition mit Folgesummanden auszugleichen :

 

Für das Beispiel:

 

(X*2665+X^2-X - 1489) = y^2 bzw f(x) = (X*2665+X^2-X – 1489)^(1/2)

 

(1489 ist Rest der Beispielzahl)

 

Abstrakt:

 

(F2) X*(2*ApproxBasis+1)+X^2-X- Rest

 

Dieser Wert soll ganzzahlig radizierbar sein, wenn wir ganzzahlige Faktoren suchen.

Ausnahme sind gerade Zahlen, die mit den Kommastellen 0,5 und 0,25 geprüft werden können – also Quadrate mit Basis (n+1/2) ergeben dürfen, da diese Kommastellen sich bei der Addition und Subtraktion nach der dritten binomischen Formel wieder aufheben.

 

Für ungerade Zahlen kann man als Kritierium verwenden:

 

(K) (X*(2*ApproxBasis+1)+X^2-X- Rest )^(1/2) Element in IN

 

 

 

 

Beispielzahl 1775713

 

Eine von mehreren Lösungen ist x= 115

 

f(115) = 564^2

 

bzw.

 

(115*2665+115^2-115 – 1489)^(1/2) = 564 (Element in IN)

 

Der x-Wert wird gemäß Formel 1 zur aproximierten Quadratbasis addiert:

 

Test: (1332+115)^2 – 564^2 = 1447^2 – 564^2 =

 

2093809-318096 = 1775713

 

Bedeutet mit Formel 1 oben: 1447^2 – 564^2 = 1775713

 

Die Faktoren ergeben sich dann mit der dritten binomischen Formel:

 

(1447+564) * (1447-564) = 1775713 = 2011 * 883

 

 

**** Alle ganzzahligen Lösungen führen zu richtigen Quadratdifferenzen ****

 

Auf diese Weise können die Quadratdifferenzen mit einem Quadrat über dem höchsten unteren (oder gleich diesem) der zu analysierenden Zahl erschlossen werden.

 

Durch die Arbeit mit der Quadratbasis und dem Rest kann die zu betrachtende Stellenzahl um die Hälfte reduziert werden.

 

Verlag 21.12.2017 0 500
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