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Faktorisierung über die Zwillingszahlenreihe

Voilà ein neues C++ Programm, das Faktoren einer Zahl über die Differenz zwischen einer Zwillingszahl und einer Quadratzahl findet.

Zwillingszahlen sind (in hiesiger Terminologie) Nachbarzahlen, die (hier) ein Produkt bilden:

a*(a+1) zum Beispiel.

Die Entwicklung dieser Zwillingsprodukte sind, wie leicht an der Umformung a*(a+1) = a^2 + a ersichtlich, den Quadratzahlen verwandt: Subtraktion von a führt zur Quadratzahl a^2.

Die Zwillingsprodukte entsprechend auch einer Reihe (aus geraden Summanden): a*(a+1) = SUM 2*a

Für a > 1 ist es aber auch möglich, dass zwischen a^2 und a*(a+1) noch eine oder mehrere Quadratzahlen liegen.

Diese Fälle geben Aufschluss über die Faktorisierbarkeit von Zahlen. 

Es gilt nämlich: 

Entspricht v1,  das Viertel einer Zahl Z minus 1 (also Z-1)/4 = v1, oder v2, das Viertel einer Zahl Z plus 1, nur genau der oben erwähnten trivialen Differenz zwischen irgendeiner Zwillingszahl und irgendeiner Quadratzahl, also bei 1233 z.B. nur 1233^2 - 1233*1232, ist Z eine Primzahl, hier Z = 4* 1233 + 1 = 4933, prim. 

In anderen Fällen führen die Differenzen zwischen Zwillingsprodukten und Quadratzahlen zu den hier bereits seit längerem bekannten Quadratzahldifferenzen, die mit der dritten binomischen Formel die Faktoren einfach berechenbar machen.

Kernmodul:

Die wesentliche Schaltstelle dieser Herleitung ist die hier ebenfalls bereits früher vorgestellte Einsicht, dass alle ungeraden Quadratzahlen ein Zwillingsprodukt enthalten:

Für ungerade a (aus IN natürlich)  gilt: a^2 = 4*b*(b+1) + 1

a^2 minus 1 geteilt durch 4 ergibt immer ein Zwillingsprodukt.

Da zudem die Quadratdifferenz einer ungeraden Zahl (um die es hier geht) immer aus einer ungeraden und einer geraden Quadratzahl besteht, kann man entsprechend folgende Formel für die Faktorisierung ableiten:

Z = Zahl, die man faktorisieren möchte

v1 = (Z-1)/4, wenn v1 in IN

v2 = (Z+1)/4, wenn v2 in IN

Dann gilt:

4*(c*(c+1) + v2) = d^2 ergibt mit d^2 die obere Basis der Quadratzahldifferenz

oder 

4*(c*(c+1) - v1) = d^2 ergibt mit d^2 die untere Basis der Quadratdifferenz.

Ein Beispiel:

Wir zerlegen 1233

Wir möchten als Ergebnis: 

1233 = 3*411 oder 9 * 137

mit den nicht-trivialen Quadratdifferenzen: 207^2 - 204^2 und 73^2 - 64^2

Wir rechnen mit v1 = (1233-1)/4 = 308

Das Programm führt nach Eingabe von 0, 308, 308 : 

Bei Plus1Teilbar4 geben Sie das Analysandum +1 geteilt 4 ein. Sonst 0

    a:0

Bei Minus1Teilbar4 geben Sie das Analysandum -1 geteilt 4 ein.Sonst 0

    e:308

Bei reiner Übersicht Zwillingszahl Quadratzahl geben Sie 0 ein.

308

 

zu folgenden Ergebnissen: 

 

 

Bei Plus-1-Teilbar-4 geben Sie das Analysandum +1 geteilt 4 ein. Sonst 0

    a:0

Bei Minus-1-Teilbar-4 geben Sie das Analysandum -1 geteilt 4 ein.Sonst 0

    e:308

Bei reiner Uebersicht Zwillingszahl Quadratzahl geben Sie 0 ein.

0

Untere Basis e^2:   1024  mit Basis d: 32 Zwillingszahl n ist: 36

Untere Basis e^2:   10404  mit Basis d: 102 Zwillingszahl n ist: 103

Untere Basis e^2:   94864  mit Basis d: 308 Zwillingszahl n ist: 308

--------------------------------

Process exited after 6.821 seconds with return value 0

Drücken Sie eine beliebige Taste . . .

 

 

Wir setzen die Zahlen für Quadrat 1024 ein:

36*37 - 32^2 = 1332 - 1024 = 308

mit der Äquivalenzumwandlung //*4

4*36*37 - 2^2*32^2 = 4*1332 - 4*1024 = 1232 

und der Ergänzung von "+1":

(4*36*37 + 1) - 2^2*32^2 = 4*1332 + 1 - 4*1024 = 1233

 73^2 - 64^2 = 1233

dritte Binomische:

(73+64)* (73-64) = 137*9 q.e.d.

 

Jetzt das Quadrat 10404:

Quadrat :   103*104 - 102^2  = 10712 - 10404 = 308

Äquivalenzumformung //* 4

4*103*104  -  2^2*102^2 = 4*10712 - 4*10404 = 4*308

Äquivalenzumformung // "+ 1"

(4*103*104 + 1)  -  204^2 = 4*10712+1 - 41616 = 1232 + 1

207^2 - 204^2 = 42849 - 41616 = 1233

dritte Binomische:

(207+204) *(207-204) = 411 * 3 = q.e.d.

 

Das dritte Quadrat führt zum trivialen Fall:

Quadrat:   94864  mit Basis d: 308

308*309 - 308^2 = 95172 - 94864

ergibt 617^2 - 616^2 = 1233

mit der dritten Binomischen die trivialen Faktoren 

(617+616)*(617-616) = 1233 *1

 

q.e.d.

 

 

Verlag 01.03.2018 0 370
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