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Faktorisierung, Quadratzahlenreihe, Formeln und Funktionen

laughing Jetzt endlich einen kleinen Schritt weiter.

 

Wir zerlegen die Zahl 305203

 

Wurzelapproximation führt zu n= 552 und 

552^2 = 304704. Die Differenz 305203 - 552^2  = 499

Wir betrachten in der Folge die Differenzen von der zu analysierenden zahl Z (hier 305203)

und ihren kleineren Quadraten n^2.

Die Differenzen werden in Vielfache von 2n-1 und den verbleibenden Rest (res) zerlegt.

2n-1 entspricht den Abständen der Quadratzahlreihe.

Also entsteht eine Folge mit kalkulierbaren Werten in der Form:

Z - n^2 = D, D = x * (2n-1) + res

Das Vielfache x entwickelt sich 'übersichtlich langsam und hyperbolisch (indirekt proportional zu 2n-1)', mit langsam wachsenden Abständen, die in der ganzzahligen Darstellung etwas chaotischer wirken als sie sind, ebenso die Werte für den jeweiligen Rest.

Die einfache Formel für die Berechnung eines beliebigen Restbetrages bei einer Zerlegung auf Basis von n ist (mit einem Anfangswert res der abhängig ist von der zu analysierenden Zahl):

resn0 + SUM (2m-2) = resn0 + m^2 + m

wobei gilt: m ist die Differenz vom gewählten n zu n0

 

Es gilt dann: Ist bei der Zerlegung der Differenz von Quadratwert und zu analysierender Zahl das Vielfache von 2n-1 plus Rest resn durch n teilbar, ist die zu analysierende zahl durch n teilbar.

 

Also am Beispiel:

305203 (239 * 1277)

Wurzelapproximation 552^2 = 304704.

Die Differenz 305203 - 552^2  = 499

499 ist res n0.

Die formel zur Berechnung eines rests bei einem beliebigen n^2 kleiner n0^2 ist also:

499 + m^2 + m

Wir betrachten ('rein zufällig') n = 239.

m = 552 - 239 = 313.

Also res239 : 499 + 313^2 + 313 = 98781

Wir teilen 98781 durch den Faktor 2*n239 -1, also durch 477 und reduzieren das rationale Ergebnis auf den ganzzahligen (kleineren) Wert. Es ergibt sich:  207*477 = 98739

Der Rest dieser Division ist 42, also das Ergebnis für n239 gleich 42.

Für n= 239 ergibt sich insgesamt

 

239 = 57121 Diff = 248082 = 520 *477 + 42

Die Besonderheit von 239 ist, dass der Rest 42 plus das Vielfache von 2n-1, hier 520, durch n teilbar ist.

Damit ist Z ebenfalls durch n teilbar, denn Z (305203) hat dann die Struktur:

239^2 + 520(2*239 -1) + 42 = 239^2 + 2*239*520 - 520+42 = 239^2 + 2*239*520 - 2*239 = 239^2 + 519*2*239

239 ist in allen Summanden als Faktor enthalten.

Das Vielfache von "-1) in 2n-1 hat bei 239 plus Rest den Wert 2*239 erreicht, sodass der gesamte Term dann ein Vielfaches von 239 ergibt. Entsprechend "springt" die Zerlegung von Dreierschritten in der Entwicklung der Vielfachen bei nahen n > 239 plötzlich und reversibel auf einen Viererschritt.

Das Vielfache 519 ist 'eigentlich' regulär,  trifft aber eben nur für 2*n zu, ohne die Subtraktion -1.

Zur Bestimmung von Teilern einer Zahl ist neben der Approximation der Wurzel und des Anfangswertes also nur erforderlich, die Teilbarkeit des Vielfachen x von (2n-1) plus Rest durch n zu betrachten, wobei

x*(2n-1) + res der Differenz der zu analysierenden Zahl und der Quadratwurzel von n entsprechen:

mal schlecht formatiert einige Zahlen skizziert:

 

237^2 = 56169 Diff 249034 = 526 * 473 + 236

 

238 ^2= 56644 Diff 248559 = 523 * 475 + 134

 

Prüfe, ob Vielfaches des Abstands (520, 1x), negativ, +PLUS Rest (42) durch n (Wurzelbasis) teilbar ist.- 520 + 42 = 478

 

239 * 1277 = 305203 / hier in N untypischer schritt +4

 

239^2 = 57121 Diff = 248082 = 520 *477 + 42 = 520* (2*239 -1) + 42 = 519 * 478

 

240^2 = 57600 Diff 247603 = 516 * 479 + 439

 

241^2 = 58081 Diff 247122 = 513 * 481 + 369

 

242^2 = 58564 Diff 246639 = 510 * 483 + 309

 

243^2 = 59049 Diff 246154 = 507 * 485 + 259

 

Vielfachs plus Rest

 

FUNktiON: [ 'negativ' (R – n^2) geteilt durch (2n-1) // negatives Vielfaches] plus [(R – n^2) modulo (2n-1) // Rest ]

 

geteilt durch n

 

Ergebnis  ganzzahlig , dann ist n Teiler von R

Man könnte also 2n parallel betrachten, bzw. die Teilbarkeit von negativem Vielfachem plus positivem Rest durch n.

Da sich das Vielfache relativ regulär entwickelt und der Rest durch die gegebene Formel berechen bar ist, kann man im Prinzip das Ergebnis auch über Funktionen entwickeln. Der Rest muss insbesondere klein genug sein, damit der Betrag der Summe aus negativem Vielfachen und Rest größer/gleich sein kann als n. Die Entwicklung der Vielfachen in IN ist, wie gesagt, indirekt proportional zu (2n-1).

Formal sieht der Fall so aus: (v = Vielfaches, res= Rest, n = Wurzelbasis wie oben)

2n*(v-1) = v*(2n-1) + res

2nv - 2n = 2nv - v + res

-2n = res-v

v - res = 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZifferZahlZitat 26.08.2017 0 644
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