Post view

Faktorisierung mit Hilfe der dritten binomischen Formel: Quadratische Gleichung

 

Faktorisierung mit Hilfe der dritten binomischen Formel: Quadratische Gleichung statt Wurzelapproximation

 Nach dem Mathematiker Blaise Pascal kann man Fakoren einer Zahl finden, indem man erst die Wurzel approximiert und dann von diesem Term aus jeweils vergrößert, bis man die Differenz so zerlegen kann, dass sie mit dem größeren Quadrat einen Faktor bildet.

 Dahinter versteckt sich das Prinzip der dritten binomischen Formel, dass eine Differenz aus zwei Quadraten sich auch als Produkt zweier Faktoren darstellen lässt, in der folgenden Weise:

 Z^2 – A^2 = (z-a)*(z+a)

  Wer eine Zahl faktorisieren möchte, muss sie also „nur“ als Differenz aus zwei Quadraten darstellen.

 Ein Beispiel:

 Das Analysandum: 2173

 Die approximierte Wurzel ist 46,5. Wir probieren 46 und 47 und finden bei 47^2 tatsächlich ein zweites, das gleich der Differenz von 47^2 und 2173 ist:

 2209 - 2173 = 36, 36 ist das Quadrat von 6.

 Also ist 2173 = 47^2 - 6^2

 Wir zerlegen nun die Differenz nach der dritten binomischen Formel:

 (47 + 6)*(47- 6) und erhalten als Faktoren: 53 * 41 = 2173

 Besonders einfach ist es, je näher die Faktoren beieinander liegen, also z.B. bei Produkten aus Zwillingsprimzahlen:

 41 x 43 = 1763

 Die approximierte Wurzel ist 41,988 => 42. Wir probieren plus/minus 1

 und erhalten die Differenz: 42^2 – 1^2 = 1763.

 Schwierig wird es hingegen, wenn die Faktoren sich in der Größe deutlich unterscheiden.

 Dann hilft die Wurzelapproximation nicht nur nicht weiter, sie führt sogar in die Irre.

 Ein Beispiel:

 1577 = 19 x 83

 Die approximierte Wurzel von 1577 ist 39,71

 Beginnen wir mit 40, 40 -+ 7 = 33 x 47 = 1551 ist zu klein, aber 32 x 48 83 anzukommen, müssten wir auch viel zu viel abziehen 83 – 40 = 43; also nicht brauchbar.

 Die Wurzelapproximation als Strategie, um geeignete Quadrate für die Faktorisierung mit Hilfe der dritten binomischen Formel zu finden, ist also nur bei ähnlich großen Faktoren geeignet, bei denen nicht einer echtes modulo-Vielfaches des anderen ist.

 Wir suchen also Strategien, um in anderen Fällen Quadrate zu finden.

 Betrachten wir erst wieder das Beispiel 1577:

 Die Faktoren von 1577 sind 19 und 83. 83 ist Vielfaches von 19, sodass

 83 = 4*19 + 7

 Also ist 1577 = 19 * (4*19 + 7)

 Da hier eine quadratische Struktur sichtbar ist, führt vielleicht wieder eine einfache Formel zum Erfolg, namentlich die klassische „Mitternachtsformel“ für quadratische Gleichungen.

 Es gilt für die zu analysierende Zahl r, hier 1577

 1577 = 4*19^2 + 7*19

 Verallgemeinert:

 ax + b = größerer Faktor

 x kleinerer Faktor

 r analysandum

 r = x(ax+b) = ax^2 + bx

 also haben wir eine quadratische Gleichung folgender Form:

 <=> 0 = ax^2 + bx – r =>

 und finden somit den kleineren Faktor x

 über die besagte Formel:

 x1,2 = - b/2a +- WRZ(b^2 + 4ar) /2a

 Angewandt auf unser Beispiel bedeutet das:

 x1,2 = - b/2a +- WRZ(b^2 +4a*1577)/2a

 Gesucht werden a und b, sodass unter der Wurzel WRZ eine radizierbare Zahl entsteht, wenn das Quadrat vom modulo-Rest des größeren Faktors zum Vierfachen multipliziert mit der Vielfachheit und dem Analysandum addiert wird.

 Die erste Strategie ist Probieren, und bei kleineren Zahlen führt dieses Vorgehen auch zum Erfolg. Nicht ganz unwichtig ist, dass die übrigen Terme durchaus rational sein können.

 Hier zeigen wir nur das Ergebnis, sobald die bekannten Werte eingesetzt werden:

 a= Vielfachheit, b = modulo Rest

 -7/8 +- WRZ(7^2 + 4*4*1577) / 8 = -7/8 +- WRZ ( 49 + 25232)/8 = 7/8 +- WRZ(25281)/8

= -7/8 +- 159/8 = 0, 875 +- 19,875 = 19

 Solange die Werte für a,b nicht bekannt sind, ist es natürlich je größer, desto aufwändiger, durch Probieren die richtige Zahlenkombination zu finden.

  3 Sobald die Faktoren bekannt sind, ist es um so leichter, die Quadrate zu bestimmen. Wir stellen die entsprechende Gleichung auf im Versuch, durch eine Übersicht über die einschlägigen Gleichungen die Faktoren und Vielfachen plus modulos weiter einschränken zu können.

  Die Faktoren werden einfach addiert, die Summe halbiert. Das Ergebnis ist die Basis der höheren Quadratzahl:

 Bei dem gewählten Beispiel:

 19 + 83 = 102

 102/ 2 = 51

 1577 = 51^2 - ….

 Jetzt subtrahiert man den kleineren Faktor vom Ergebnis und erhält

 51 – 19 = 32.

 32 ist die Basis des zu subtrahierenden Quadrats:

 51^2 – 32^2 = 1577

 <=> (51-32)*(51+32) = 1577 (Faktorisierung nach der dritten binomischen Formel)

 <=> 19 * 83 = 1577

 

ZifferZahlZitat 12.08.2017 0 523
Comments
Order by: 
Per page:
 
  • There are no comments yet
Rate
0 votes
Actions
Recommend
Categories
Books (14 posts)
Entertainment Blogs (24 posts)