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Funktionen zur Faktorisierung mit Quadratreihen

Hier einfach mal die Funktionen, wobei in dieser schematischen Darstellung die Handhabe zwischen /Q und /N noch fehlt.

Grundsätzlich können die Vielfachen immer auf die nächsthöhere ganze Zahl 'gerundet' werden, bzw man kann einfach +1 rechnen und dann den ganzzahligen teil verwenden. .

 (Zur Notation: "wrz" = apprximierte Wurzel, z.B für 305203 ist wrz = 552; n meint eine Zahl aus IN, d.h. nicht rational oder reell; Z ist die zu faktorisierende Zahl)

Die Approximation wählt die Wurzelbasis mit dem kleinsten positiven Rest, bzw. die Basis der größten Quadratzahl kleiner Z.

Vielfachenfunktion:

 f1(x) := (Z - x^2 ) / (2x-1)  für das Beispiel 305203 also (Z- x^2) / (2x-1)

f1int(x) := f1(x) + 1 in IN

Drei Beispiele:

x1= 239 (Teiler!)   (305203 - 57121) / 477 =  247583/477 = f1int(x) = 520

x2= 391   (305203 - 152881)/ 781 = 151823/781 =  f1int(x) = 195

x3 = 395 (305203 - 156025) / 789 =  f1int(x) = 189

 Man könnte z.B. einbauen, um unabhngig von automatischen reduktionen zu berechnen: (f1(x) - f1(int) )* 477 für den Rest.

 

 Restfunktion:

f2(x):= Z – x^2 – f1(x)*(2x-1)  bzw. hier  305203 - x^2 - f1int(x)* (2x-1) Hier ist wichtig, dass für f1int(x) der ganzzahlige Wert verwendet wird.

Für die Beispiele:

x1: f1int(x)) = 520 und                 305203 - 57121      - 520*477 =248082 - 520*477 = 248082- 248040 = 42

x2: f1(int(x)) = 195 und                  305203 -  152881     - 195*781 = 152322 - 195*781 = 152322    - 152295 = 27

x3: f1(int(x)) = 189     und               305203 -  156025     - 189*789 = 149178 - 189* 789 = 149178- 149121 = 57

 

Teilbarkeit= (520-42) / 239 = 2

 (195-27) / 391 = 0,...

(189 - 57) / 395 = 0,....

 

 Teilbarkeit:

 f3(x) := - f1(x) + f2(x) = n*x

 bzw. f3(x) := | f2(x) -f1(x) |/ x = n

 Oder f1int(x) = f2(x).

 

Beispiele:

 für x1: (520-42) / 239 = 2

 für x2: (195-27) / 391 = 0,...

für x3: (189 - 57) / 395 = 0,....

 

Die Teilbarkeitsbedingungen formuliert man als Gleichung:

Fall1 :

Z – x^2 – f1int(x)*(2x-1) + px =   (Z - x^2 ) / (2x-1)

Das bedeutet, der Rest von Z bei einem bestimmten x  und entsprechendem Vielfachen von 2x-1 ist plus n*x gleich dem Vielfachen von 2x-1.

305203 - x^2 - (Z -x^2) + ax =   (Z - x^2 ) / (2x-1) bzw. ax = (Z - x^2 ) / (2x-1)

Die quadratischen Gleichungen:

 f3(x) := - f1(x) + f2(x) = n*x

 bzw. f3(x) := | f2(x) -f1(x) |/ x = n

 Oder - f1int(x) = f2(x).

rest =   Z – x^2 – f1(x)*(2x-1)

 Vielfaches = (Z - x^2) / (2x-1) 

REST = VIELFACHES :

Fü die Restfunktion nehmen wir die Modulo Definition, da die Differenz zwischen rationalem und ganzzahligem Wert heir nicht ausgedrückt werden kann, beim Berechnen in "int" ergibt sich der Rest durch die automatische Reduktion. Das ist sehr viel praktischer. :

Rest = Z-wrz^2 + (wrz-x)^2 + (wrz-x) modulo 2x-1 bzw minus (2x.1)*n-mal für Z-wrz^2 + (wrz-x)^2 + (wrz-x) > 2x-1

Also am Beispiel 499 + 313^2 + 313 modulo 477 = 42

Z – x^2 – f1int(x)*(2x-1) + f1(x)*(2x-1)* f1int(x)*(2x-1) = 0

 ergibt px = 0  (Vielfaches ist rest oder rest ist 0)

oder (Z - x^2 ) / (2x-1) -

f1(x)-f1int(x) *(2x-1) = nx

 

 usw.

 

 

 

ZifferZahlZitat 27.08.2017 1 42
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