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Mathematische Flaschenpost * auf der Suche nach Mathegenies :D

laughing Hi, auf der Suche nach anderen Menschen, die sich für mathematische Regeln und Rätsel interessieren, poste ich hier mal ein paar Artikel, die auch zu den bereits veröffentlichten (auf dieser Seite, teils in englischer Sprache) gut passen. 

Insbesondere habe ich jetzt ein einfaches Schema gefunden (Iteration), mit dem man die Umwandlung einer >100-stelligen Zahl in deren Polynom aus Zweierpotenzen programmieren kann. Dem Schema lassen sich auch Eigenschaften von Quadratzahlen (ich habe zwischen geraden und ungeraden unterschieden, um spezifischere Eigenschaften beschreiben zu können als die Gauß'sche Reihe) ablesen. 

Ich veröffentliche hier einfach mal eine lose, notizenartige Zusammenstellung der Ergebnisse.

Im Prinzip geht es auch um Primzahlen (Muster)) und einfache Faktorisierungsverfahren. 

Also....

  

Zweierpotenzen von ungeraden Zahlen (Analyse ungerader Zahlen in Zweierpotenzen) ergeben sich iterativ nach dem Spaltenschema

2^0 ohne iteration, 2^1 Iteriert einstellig, 2^2 iteriert zweistellig usw, je nach Exponent.

Polynomisierung:

Der Exponent tritt als Anzahl von Vorkommnissen bei wachsenden ungeraden Zahlen auf. 

Entsprechend lässt sich mit der Formel

2^ex Berechne, ob enthalten: 

 

bei 2-2- Wechsel bzw. vier Stellen (2^2):

(a -1) : 2 mod 4 (Potenzwert)

( a-1)/2 modulo 8 : bei 2^3 usw bei erster Hälfte der Werte einschließlich 0: nicht enthalten, höhere Hälfte: enthalten. 

Ungerade zahlen hier beginnen mit 1, nächsthöhere Potenz daher immer diagonal

Die abfallende Diagonale bildet vollständige Reihe von aufsteigenden Zweierpotenzen (repräsentiert aber im Schema noch keine bestimmte Zahl). 

EIne vollständige Reihe entspricht der einzelnen, nächsthöheren Zweierpotenz minus 1.

Die Polynome sind waagerecht repräsentiert. (Reihe zeigt das Zweierpotenz-Polynom einer Zahl)

GeradeZahlen verdoppeln das iterative Schema (zusätzliche reihen) ohne die erste Spalte und mit einer obersten reihe füre die Null )

Im Schema sieht man ein Vierrernetz aus einer Diagonale und einer kontinuerlichen Linie aus positiven Potenzwerten.  Die Diagnalen beginnen mit regulär weiteren Schritten bei ungeraden Quadratzahlen, sodass jede ungerade Quadratzahl der beginn einer solchen Diagonale ist. 

So ist ablesbar, dass für die ungeraden Quadratzahlen folgendes Prinzip gilt:

Alle ungeraden Quadratzahlen sind nach Subtraktion von 1 Vielfache von 8, haben also die Struktur:

a*2^3 + 1

Die Folge von ist so aufgebaut, dass die Differenz zwischen den Vielfachen sich bei jeder ungeraden Quadratzahl um 1 vergrößert, also die Reihe der natürlichen Zahlen als Addition der Vielfachen fungiert:

a=1 dann 2a-1 = 1 und 0*8 +1 = 1

a=2 dann 2a - 1 = 3, 3^2 =  9 = 8 + 1 = 1 *2^3+1 also Diff = 1*8 bzw (a-1)*8

a = 3 dann 2a -1 = 5, 5^2 = 25 = 3*8 + 1 = ((1)+2)*2^3 +1 also Diff : 3*8 +1 - (1*8 +1) = 2*8 = 16 = 25-9

a= 4 dann 2a-1 = 7, 7^2 = 49 = 6*8 +1 = ((1)+2)+3) * 2^3 +1 also Diff: 6*8 +1 - (3*8 +1) = 3*8 = 24 = 49 - 25

 

Jede ungerade Quadratzahl n^2 ist entsprechend darstellbar als Folge ((a-1)^2 +(a-1))/2 *2^3 +1 für a = (n+1)/2

Die Differenzen zwischen beliebigen Quadratzahlen a,b a> b haben somit den Wert ((a-1)^2 + (a-1) - (b-1)^2 - (b-1))/2 * 2^3 bzw. 4* ((a-1)^2 + (a-1) - (b-1)^2 - (b-1)) mit a,b zu n,m wie in der Folgendarstellung.

Entsprechend gilt für die Differenzen der ungeraden Quadratzahlen:

Die Differenz einer ungeraden Quadratzahl n^2 zur nächst kleineren (diminuierenden!) (n-2)^2 ist das Achtfache von (a-1) für a = (n (Basis) + 1) /2 bzw. das Achtfache der Ordinale des Quadrats in der Reihe der ungeraden Quadrate (1 eingeschlossen). minus 1 (1 ist essentiell wegen erster Differenz). 

 Die Zerlegung in Zweierpotenzen ermöglicht so übersichtliche Approximationen 

zur Lösung von x = 4(a^2 +a), da zweierpolynomische Zahlen einfach auf die entsprechenden zweierpotenzen reduziert werden können: 2^[2x+2] für 4a^2 und 2^(x+2) für 4a.

 

Gerade Quadrate sind immer Vielfache von 4 (gerade= Faktor 2, quadriert = 4) also auch gute Kandidaten für Differenzen von ungeraden Quadraten.

Ebenso die Differenzen.

Die Differenzen entwickeln sich mit ungeraden Vielfachen: 

1*4 (0 und 4), 3*4 (16-4), 5*4 (36-16) usw.

Also Reihe über (2n-1)*4 = m^2 (Summe aller Differenzen) mit n = Iteration und m = 2n

 

 Oder [(8(m-1)^2+m-1]/2 *8 + (m)*4  ] = (2m)^2, wobei m der Ordinalwert des Quadrats in der Folge gerader Zahlen oder gleich n/2 der Gauß'schen Quadrat-Reihe über n.

Für gerade m ist  (m)*4 ein Vielfaches von 8. 

 

 

Für die Darstellung einer ungeraden Zahl als Diff. von Quadratzahlen nimmt man eine ungerade Quadratzahl als obere Grenze (Diminuend) an, und sucht nach einer kleineren geraden Quadratzahl. 

 

Eine Differenz von 

Wer es interessant findet, kann mir mailen: ur@dr-ulrike-ritter.de

 

 

ZifferZahlZitat 05.06.2017 0 506
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