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Weiteres, Neues..

Hier noch einmal die nachkorrigierten Formeln für die Quadratdifferenzen:

x,n element IN und n gerade

 

1. Differenz zwischen ungeraden Quadraten:

(2x-1 + n)^2 - (2x-1)^2  = 8* (1/2 xn - 1/4 n + 1/8 n^2)

 

Brauchbare Nebeneinsicht: 

 - 1/4 n + 1/8 n^2 ist für gerade n immer eine ganze Zahl (1/2 xn trivialerweise natürlich ebenso)

 

2. Differenz zwischen geraden Quadraten:

(2x +n)^2 - (2x)^2 = 8* (1/2 xn + 1/8 n^2)

Da nicht alle geraden Quadratzahlen durch 8 teilbar sind, 1/2 * n (*x) aber wegen 'n gerade' immer eine ganze Zahl ergibt,

kann es bei Differenzen aus geraden Quadraten einen Rest 4 geben. 

 

3 Differenz zwischen ungeraden und geraden Quadraten:

(2x -1 +n)^2 - (2x)^2 = 8* (1/8 n^2 + 1/2 xn - 1/2 x - 1/4 n + 1/8 )

oder (2x+n)^2 -(2x-1)^2 = 8*(1/8*n^2 + 1/2 xn + 1/2 x - 1/8)

 

Hier heben sich zwar 1/8 n^2 - 1/4n auf, der Termwert von 1/2xn - 1/2 x + 1/8 ist aber bei ganzzahligen x,n rational.  

 

Wie auch immer, kann man die Quadratdifferenzen nutzen, um für folgende leicht zu erzelende Strukturen großer Zahlen eine Lösung zu finden:

A^2 - (B^2 + C^2) = Zahl

Man benötigt dann ein pythagoreisches unteres Quadrat, das in die gegebenen Summanden zerlegbar ist.

Rechnet man mit Vielfachen von Acht, kann man nicht nur die Formel für die Faktorenzerlegung verwenden (siehe vorige Blogs),

sondern auch die Formel  (wie immer für ganzzahlige y und z):

Für (y^2 + y)/2 = z  ist z*8+ 1 quadratisch. 

Hat man A^2, B^2 und C^2 dieser Form gefunden, hat man eine Quadratdifferenz A^2 - (B^2 + C^2) = Zahl gefunden, sodass (A-(B+C)) * (A+(B+C)) = Zahl, also die gesuchten Faktoren der Zahl sind. 

 

 

Weiteres wichtiges Nebenprodukt: 

1/8 n^2 - 1/4n ist für gerade n immer GANZZAHLIG ! Das gesuchte, rechnerische Kriterium ! ...

 

Zudem sind auch große Zahlen (ab 150 Stellen z.B) in Differenzen der Art  A^2 - B^2 - C^2 zerlegbar (insbesondere mit Hilfe der Vielfachen von 8)

Um eine brauchbare, in Faktoren zerlegbare Differenz z erhalten, sucht man dann A^2 - (B^2 + C^2), sodass B^2 + C^2 = D^2

und Zahl = A^2 - (B^2 + C^2)

Wählt man ein gerades Quadrat für A^2 und ein ungerades Quadrat für B^2 + C^2 

gilt für die gesuchten pythagoreischen B^2+C^2:

y,z element IN:

Für z = (y^2 + y)/2 ist z*8 + 1 ein ungerades Quadrat.

 

Verlag 5 days ago 0 35
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12.01.2018 (5 days ago)
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