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Zur Formel x^2 + a*(2x-1) + r und ihrer Anwendung

Nochmal erklärt, und einiges zur Nutzung der Formel x^2 + a*(2x-1) + r

 Die wesentliche Einsicht ist, dass 'a minus r' aus der Formel oben dem Faktor x oder einem Vielfachen des Faktors gleich sein müssen.

Das Programm listet Faktoren auf, die zu Zerlegungen der Art

a^2 - b^2 führen, also (a+b)*(a-b).

In besonderen Fällen auch zu Zerlegungen der Art

a^2 - b^2 + z*n  bzw. (=) (a+b)*(a-b) + z*n

wobei z*n ein Teiler von der analysierten Zahl Z ist ("Z" ohne referenzielle Identität mit z).

Untersucht wurden Strukturen ausgehend von der angenäherten Wurzel einer Zahl Z:

Z - n^2 - a*(2n-1) - r

wobei Z die zu analysierende Zahl ist,

"2n-1" ist bekanntlich der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen in der Gauss'schen Quadratzahlenreihe

n^2 = SUM 2n-1

Für eine beliebige, nicht prime Zahl Z gibt es also Faktoren, sodass ein Faktor plus das Vielfache des Quadratzahlenabstands des Faktors plus/minus das Vielfache die Zahl teilen bis auf einen bestimmbaren Rest r, der gleich 0 oder gleich einem anderen ganzzahligen Vielfachen des Faktors ist. Das Programm untersucht Zerlegungen dieser Art mit einem Vielfachen des Rests von 0 bis 4.

Ein schönes Beispiel ist 4498541. Das Programm gibt aus:

 4498541
Zum Faktor n 2111 ex. Vielfaches a: 10 mit a = Rest in ZI 10
und Quadratzerlegung ist Faktor n + Vielfaches (-1) zum Quadrat minus Vielfaches
 (-1) zum Quadrat, bei geraden Zahlen + Faktor n.
(2111+10(-1))^2 - (10(-1))^2 (+ Faktor n: 2111)

--------------------------------
Process exited after 26.49 seconds with return value 0
Drücken Sie eine beliebige Taste . . .

Die Zerlegung hat also die Form:

4498541 - 2111^2 - 10*(2*2111-1) - 10 = 0

4498541 - (4456321 + 42220) = 0

Die Faktoren sind (2121) +10 = 2131  und 2121-10 = 2111

2131 * 2111 = 4498541

Das Programm nutzt die Reduktion auf ganze Zahlen, die im Bereich der rechnung mit integer Werten automatischer folgt. Es berechnet den entsprechenden Rest ebenso automatisch.

Wer mit einem normalen taschenrechner dies Formel benutzen will, um Zahlen zu analysieren, muss mit den Nachkommazahlen arbeiten, die bei der Wurzelapproximation entstehen - also beim Erschließen von der Basis 2111 in 4498541 - 2111^2 - 10*(2*2111-1) - 10 = 0

Das richtige x ist allerdings nicht  immer die größte Wurzel unter der oberen Grenze, sondern kann irgendeine Wurzelbasis sein, die zu einer passenden Zerlegung führt.

Die Entwicklung von Wurzelbasis und Vielfachen ist nur sehr ungefähr umgekehrt proportional, ab einem bestimmten Punkt entwickelt sich die Vielfachheit schneller.

Man kann sich aber über Probieren eine ungefähr Übersicht schaffen, ab welchen Werten für x die Vielfachen sich deutlich schneller entwickeln als n+1.

Auch der Rest entwickelt sich nicht vollkommen irregulär...

Mit der Suche nach  einem Funktionschema, das zB. Schnittpunktberechnungen möglich macht, setzen wir unser Programm demnächst fort.

Die wesentliche Einsicht ist, dass 'a minus r' aus der Formel oben dem Faktor x oder einem Vielfachen des Faktors gleich sein müssen.

Einfacher wäre es natürlich - aber wesentlich unwissenschaftlicher ;) - das Programm für großee Zahlen umzuschreiben.

 

 

 

 

 

 

 

ZifferZahlZitat 30.08.2017 0 36
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