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systematisches Faktorisieren mit Koeffizienten von Sechserpolynomen

Die Überlegungen von heute Nachmittag lassen sich jetzt so verallgemeinern:

 

1 Die Koeffizientenfolge reicht, weil damit gesichert ist, dass die Summanden des Polynoms Vielfache voneinander sind.

2 Alle Primfaktoren haben kleinstmögliche Darstellungen der Form 6^n + 6^(n-1).... + 1 oder 6^n + 6^(n-1).....+5

    dabei sind  1 und 5 am Ende der Reihe Koeffizienten von 6^0.

3 Auch wenn Summanden, die Vielfache dieser kleinstmöglichen Darstellungen eines Primfaktors sind, sich in der Potenzenfolge überlagern, bleibt das gesamte Polynom durch den Faktor teilbar, da es sich ja weiterhin um eine Summe von Vielfachen des Primfaktors handelt.

4 Entsprechend verschiebt sich die Koeffizientenfolge regulär, entsprechend der Regel, dass Koeffizienten > 5 als Koeffizient 1 der nächstgrößeren Potenz dargestellt werden.

5 Beispiele:

 

Die Zahl 89 hat die Koeffizientenfolge 2,2,5

zahlen der Struktur 2,2,5,2,2,5,2,2,5 usw. sind durch 89 teilbar, aaber auch

zahlen der Struktur: 2,4,7,5 = 2,5,1,5 (!) oder       2    2+2   5+2    2+5   2+2   5+2  5 = 2,4,7,7,4,7,5 = 2,5,2,1,5,1,5  = 2*6^6 + 5*6^5 +2*6^4 + 6^3 + 5*6^2 +6 +5 = 135191 / 89 = 1519 (also teilbar)

 

Man kann folglich von den kleinsten Sechserpotnzen ausgehend mögliche Teiler ablesen, denn die Summanden der Koeffizienten - hier z.B. 2 und 5 haben bei den kleinsten Sechserpotenzen im Polynom eine entsprechend kleine Anzahl, namentlich exponent plus 1, (wegen des exponenten 0, und ohne berücksichtigung des Koeffizienten 0)

Da der Primfaktor immer durch die reduzierte Koeffizientenfolge mit Koeffizienten von 0 bis 5 darstellbar ist,können die Koeffizienten bei den kleineren Exponenten also nicht höher als 5 * Exponent-plus-1 sein, entsprechend:

2*5 für 6^1, 20 für 6^3 25 für 6^4 usw. Und sind dann relativ leicht bestimmbar....

 Zudem gilt daselbe vom Anfang des Polynoms, also den hochsten Potenzen, hier nach der Folge-Regel n-(a-1) für alle Eponenten a von n bis 0.

 Die typischen Koeffizientenfolgen der Faktoren müssen vollständig im Polynom vorhanden sein, wenn auch 'überlagert', sodass die Summe quasi symmetrisch wird und der erste Koeffizient beim höchsten Expoenten, der letzte Koeffizient beim niedrigsten (eben 1 oder 5) ablesbar ist (beide werden nicht summiert und sind entsprechend für Faktor und Produkt gleich).

Man kann also versuchsweise beide subtrahieren aus allen Koeffizienten, um zu sehen, wo es Verschiebungen wegen Koeffizienten größer 5 gegeben hat und wo mehrere Koeffizienten eine Summe bilden etc. oder 0-Koeffizienten vorliegen müssen....

 

ZifferZahlZitat 18.07.2017 0 504
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